Potenzreihe

Potẹnzreihe,

 

Mathematik: eine unendliche Reihe der Form

 

Die fest vorgegebenen, im Allgemeinen komplexen Zahlen a_n sind die Koeffizienten der Potenzreihe (Potenzreihen mit endlich vielen Gliedern nennt man Polynome); z₀ ist eine komplexe Konstante, sie stellt den Entwicklungs(mittel)punkt der Potenzreihe dar. Die Potenzreihe ist nach dem abelschen Satz konvergent im Konvergenzkreis |z| < r beziehungsweise |z — z₀| < r mit dem Mittelpunkt 0 beziehungsweise z₀ und dem Konvergenzradius

 

bei reellen Potenzreihen entspricht dem Konvergenzkreis ein Intervall der reellen Achse. Im Bereich |z — z₀| < r ist die Potenzreihe sogar absolut konvergent, in jedem kleineren Kreis darüber hinaus gleichmäßig konvergent. Außerhalb von |z — z₀| ≦ r divergiert die Potenzreihe; auf dem Rand des Konvergenzkreises kann sie sowohl konvergieren als auch divergieren. Ist r = 0, so sagt man, die Reihe sei nirgends konvergent; für r = ∞ ist sie in der komplexen Ebene überall oder beständig konvergent.

 

Potenzreihen sind in ihrem Konvergenzbereich gliedweise differenzierbar, die abgeleitete Reihe besitzt denselben Konvergenzradius; Entsprechendes gilt auch für die Integration. Die Potenzreihe stellt somit eine im Innern des Konvergenzkreises holomorphe Funktion dar, die gegebenenfalls über ihren Konvergenzkreis hinaus analytisch fortgesetzt werden kann. Ist f (z) umgekehrt eine in einem Gebiet G der z-Ebene holomorphe Funktion, so gibt es zu jedem z₀ ∈ G nach der cauchyschen Integralformel genau eine Potenzreihe mit dem Entwicklungsmittelpunkt z₀, die taylorsche Reihe von f (z) um z₀, die für eine gewisse Umgebung von z₀ konvergiert und dort die Funktion f (z) darstellt. Sind zwei Potenzreihen für |z — z₀| ≦ r konvergent und liefern sie in unendlich vielen verschiedenen, sich in z = z₀ häufenden Punkten dieselben Funktionswerte, so sind diese Potenzreihen identisch (Eindeutigkeits- und Identitätssatz). - Die Entwicklung von Funktionen in Potenzreihen spielt sowohl in der Analysis als auch in der Funktionentheorie eine wichtige Rolle. J. L. de Lagrange machte die Potenzreihe zur Grundlage seiner Analysis (»Théorie des fonctions analytiques«, 1797), womit er Ideen von L. Euler (»Introductio in analysin infinitorum«, 2 Bände, 1748) wieder aufgriff.

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Po|tẹnz|rei|he, die (Math.): [unendliche] ↑Reihe (5), deren Glieder verschiedene [mit Koeffizienten versehene] Potenzen derselben Variablen sind.